Álgebra lineal Ejemplos

$8 i (7 - 5 i)$

Paso 1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 i \cdot 7 + 8 i (- 5 i)$

Paso 2

Multiplica $7$ por $8$ .

$56 i + 8 i (- 5 i)$

Paso 3

Multiplica $8 i (- 5 i)$ .

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Paso 3.1

Multiplica $- 5$ por $8$ .

$56 i - 40 i i$

Paso 3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$56 i - 40 (i^{1} i)$

Paso 3.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$56 i - 40 (i^{1} i^{1})$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$56 i - 40 i^{1 + 1}$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$56 i - 40 i^{2}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$56 i - 40 \cdot - 1$

Paso 4.2

Multiplica $- 40$ por $- 1$ .

$56 i + 40$

Paso 5

Reordena $56 i$ y $40$ .

$40 + 56 i$

Paso 6

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 7

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 8

Sustituye los valores reales de $a = 40$ y $b = 56$ .

$| z | = \sqrt{56^{2} + 40^{2}}$

Paso 9

Obtén $| z |$ .

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Paso 9.1

Eleva $56$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{3136 + 40^{2}}$

Paso 9.2

Eleva $40$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{3136 + 1600}$

Paso 9.3

Suma $3136$ y $1600$ .

$| z | = \sqrt{4736}$

Paso 9.4

Reescribe $4736$ como $8^{2} \cdot 74$ .

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Paso 9.4.1

Factoriza $64$ de $4736$ .

$| z | = \sqrt{64 (74)}$

Paso 9.4.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2} \cdot 74}$

Paso 9.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| z | = 8 \sqrt{74}$

Paso 10

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{56}{40})$

Paso 11

Como la tangente inversa de $\frac{56}{40}$ produce un ángulo en el primer cuadrante, el valor del ángulo es $0.95054684$ .

$θ = 0.95054684$

Paso 12

Sustituye los valores de $θ = 0.95054684$ y $| z | = 8 \sqrt{74}$ .

$8 \sqrt{74} (\cos (0.95054684) + i \sin (0.95054684))$